เชื่อแน่ว่าหลายๆ คนคงเคยตั้งคำถามกับตัวเองว่า “เรียนคณิตศาสตร์ไปเพื่ออะไร?” ในวันนี้เราจะมาให้อีกหนึ่งเหตุผลจากหลายร้อยหลายพันเหตุผลที่เราต้องเรียนและใช้งานคณิตศาสตร์ในการพัฒนาองค์ความรู้และเทคโนโลยีในปัจจุบัน
สำหรับผู้ใช้ SmartPhone และมีการติดตามข่าวสารและหาความรู้เพิ่มเติมที่เรา AppDisqus ได้แนะนำและแชร์ความรู้ดีๆ แก่เพื่อนๆ อยู่เสมอ ก็จะพบว่า หัวใจสำคัญที่จะทำให้ SmartPhone สามารถทำงานได้อย่างมีประสิทธิภาพมากที่สุดก็คือหน่วยประมวลผลหรือ CPU นั่นเอง ในการพัฒนาเทคโนโลยีเกี่ยวกับ CPU จึงพัฒนาภายใต้เป้าหมาย หรือโจทย์ที่ต้องแก้ให้ได้ ก็คือ ทำอย่างไรให้ CPU มีขนาดเล็กลงและประมวลผลได้รวดเร็วมากขึ้น??
โดยพื้นฐานของ CPU มันเป็นวงจรตรรกะที่สร้างจาก รีเลย์ หลอดสุญญากาศ และทรานซิสเตอร์ โดยประกอบกันเป็นวงจร Logic gate จาก Logic gate พื้นฐาน AND, OR, NOT, XOR และอื่นๆ ประกอบกันเป็นวงจรที่ซับซ้อนขึ้น เช่น วงจรบวกเลขฐาน 2 วงจร flip flop วงจร decoder วงจร encoder ในปัจจุบัน วงจรทั้งหมดสามารถบรรจุอยู่ในวงจรรวม (Integrated Circuit, IC) หนึ่งตัว ซึ่งภายในประกอบด้วยทรานซิสเตอร์จำนวนมาก เรียกว่า “ไมโครโปรเซสเซอร์(Microprocessor)”
อันว่าวงจรที่ซับซ้อนที่ว่ามานี่หละครับคือปัญหา!! วงจร Logic gate ในไมโครโปรเซสเซอร์ ที่มีความซับซ้อนเกินไปก็จะส่งผลทำให้การทำงานโดยรวมของ CPU ช้าลง และเปลืองพื้นที่ให้กับแผงวงจรที่ซับซ้อนเหล่านี้ แต่หากเราลดความซับซ้อนลงได้ ก็จะส่งผลทำให้การทำงานของ CPU เร็วขึ้น แผงวงจรก็จะเล็กลงด้วย ต่อไปเราก็จะได้ SmartPhone หรืออุปกรณ์อะไรสักอย่างที่เล็กลงแต่ยังคงประสิทธิภาพการทำงานเอาไว้ได้เหมือนเดิมหรือดีกว่าเดิมด้วยซ้ำ!! ลองจินตนาการถึง Smart Watch หรือ Smart Glass ต่างๆ ที่ในอนาคตจะสามารถทำงานอย่างมีประสิทธิภาพและหลากหลายมากขึ้น หากมีหน่วยประมวลผลที่มีประสิทธิภาพและเจ๋งขึ้นทุกวัน
ในบทความนี้
แล้ว ตรรกศาสตร์ และ ทฤษฎีเซต มันเกี่ยวอะไรด้วย??
อย่างที่ว่าไปก่อนหน้านี้ว่า CPU มันเป็นวงจรตรรกะ ที่เรียกว่า Logic gate ที่เราสร้างขึ้นมาเพื่อรับคำสั่งและประมวลผล หากคำสั่งหรือฟังก์ชันที่เราใส่ไปมันซับซ้อนก็จะทำให้แผงวงจรซับซ้อนไปด้วย การทำงานก็จะช้าลงและเปลืองพื้นที่ในการวางแผงวงจรเหล่านี้ เราจึงจะมาลดขนาดคำสั่งหรือฟังก์ชันที่ซ้ำซ้อนเหล่านี้ให้เล็กลงกันครับ ด้วย “ตรรกศาสตร์และทฤษฎีเซต”??
Logic gate ประกอบขึ้นจากหน่วยการทำงานเล็กๆ ทีเรียกว่า “Gates” ซึ่งสัมพันธ์กับการดำเนินการทางตรรกศาสตร์และทฤษฎีเซต ส่วนตัววงจรภายในก็ทำหน้าที่เป็น “ฟังก์ชันค่าความจริงของสัญญาณ” โดย Gates พื้นฐานมีดังต่อไปนี้
กระบวนการลดขนาดแผงวงจร
ในการลดขนาดแผงวงจร อันดับแรกเราจะเปลี่ยนแผงวงจรที่ซับซ้อนให้เป็นข้อความทางตรรกศาสตร์และเซตเสียก่อน จากนั้นก็ใช้ความรู้ทางตรรกศาสตร์และเซตลดขนาดของข้อความลงโดยยังมีค่าความจริงหรือฟังก์ชันการทำงานไม่เปลี่ยนแปลง กลายเป็นข้อควมอย่างง่าย สุดท้ายก็แปลงข้อความอย่างง่ายนั้นกลับไปเป็นแผงวงจรอย่างง่ายและนำไปใช้สร้างแผงวงจรจริงๆ ได้เลย
ตัวอย่างแผงวงจรต่อไปนี้
แผนภาพนี้แสดงวงจร xy’ + x’y ซึ่งสมนัยกับประพจน์ (p ∧ ~ q ) ∨ (~ p ∧ q ) และสมนัยกับ (A∩B’) ∪ (A’∩B)
ตัวอย่างการลดหรือลัดวงจรที่มีความซับซ้อนให้เล็กลงโดยใช้ทฤษฎีด้านตรรกศาสตร์หรือทฤษฎีเซต
นี่เป็นตัวอย่างวงจรที่สร้างมาจากคำสั่งหรือฟังก์ชันพื้นฐานที่มีความซับซ้อน หากเรานำไปแปลงเป็นแผงวงจรก็จะทำให้ประมวลผลได้ช้าและเปลืองพื้นที่ในการวางวงจรอีกด้วย
เราก็จะใช้คุณสมบัติที่ว่า x’y’z + x’y’z’ สมนัยกับประพจน์ (~ p ∧ ~ q ∧ r) ∨ (~ p ∧ ~ q ∧ ~ r) และสมนัยกับ (A’∩B’∩C) ∪ (A’∩B’∩C’) แล้วเราก็นำความรู้เรื่องตรรกศาสตร์และทฤษฎีเซตเรื่องการสมนัยหรือความเท่ากันมาช่วยในการลดวงจร ดังต่อไปนี้
ตามหลักการสมนัยทางตรรกศาสตร์ จะได้ว่า (~ p ∧ ~ q ∧ r) ∨ (~ p ∧ ~ q ∧ ~ r) ≡ ~ (p ∨ q )
ตามหลักความเท่ากันของเซต จะได้ว่า (A’∩B’∩C) ∪ (A’∩B’∩C’) = (A ∪ B)’
เมื่อแปลงกลับไปเป็น Logic gate ก็จะได้ว่าผลลัพธ์สมนัยกับ (x + y)’ และแปลงเป็นรูปแผงวงจรได้ดังต่อไปนี้ ซึ่งจะเป็นว่าเราสามารถลดขนาดวงจรลงไปได้มหาศาลเลยครับ
เท่านี้ก็จะช่วยทำให้วงจรมีขนาดเล็กลงได้ครับ ทำให้ระบบมีการประมวลผลเร็วขึ้น และสิ้นเปลืองพื้นที่ในการต่อแผงวงจรน้อยลง เพิ่มประสิทธิภาพการทำงานโดยรวมของหน่วยประมวลผลได้ ซึ่งนอกจากองค์ความรู้เรื่องตรรกศาสตร์และทฤษฎีเซตแล้ว ก็ยังมีอีกหลายๆ วิธีที่ใช้ลดขนาดวงจรได้ แต่ทุกวิธีล้วนมีพื้นฐานคล้ายกัน ใช้หลักพื้นฐานทางคณิตศาสตร์มาช่วย แตกต่างกันเพียงวิธีการ ความเร็ว และประสิทธิภาพในการลดขนาดวงจร เพื่อนๆ สามารถศึกษาเพิ่มเติมได้เองนะครับ สำหรับบทความนี้ทำได้เพียงชี้ให้เห็นช่อง ส่องไฟให้รู้ทางก็เท่านั้น จะอ่านพอรู้พอเข้าใจเราก็ยินดี จะอ่านเพิ่มเป็นพื้นฐานในการเรียนรู้ผมก็ยิ่งยินดีใหญ่ และหากอ่านแล้วเจอข้อผิดพลาดหรือมีความรู้เพิ่มเติมก็เสริมได้ที่กล่องข้อความด้านล่างบทความนี้นะครับ เรายินดีรับคำติชมและแชร์ความรู้ร่วมกันเสมอครับ
เอกสารอ้างอิง:
1. Microprocessor Design & Architecture
2. Logic Gates Added To LED Driver Create Camera Privacy Flash Warning
4. LOGIC GATES
